39. Ache uma equação da reta normal à curva y = 10 14 - x 2   no ponto (4,-5).

Passo 1

x 0             y 0

Foi nos dado a curva   y     =     10 14 - x 2       e um ponto P= (4,-5).

Inicialmente vamos verificar se esse ponto pertence a curva:

- 5 = 10 14 - 4 2  

- 5 = 10 14 - 16

- 5 = 10 - 2

- 5 = - 5 (ok!!)

Substituimos as coordenadas do Ponto na equação da curva e a igualdade foi satisfeita. Então, realmente o ponto pertence a curva.

Passo 2

iremos encontrar o y’ usando a regra do quociente:

y = 10 14 - x 2

y ' = 14 - x 2 ⋅ 0 - 10 ⋅ ( - 2 x ) 14 - x 2 2

y ' = 20 x 14 - x 2 2

Substituindo o x 0 de P aqui , lembrando que P=(4,-5):

y ' = 20 ⋅ 4 14 - 4 2 2

A derivada no ponto x 0 é

y ' = 80 14 - 16 2

y ' = 80 - 2 2

y ' = 80 4

y ' = 20 = m t

Essa é a inclinação da reta tangente( m t ).

Passo 3

Mas o que queremos mesmo é a inclinação da reta normal que é dada por

m n = -   1 m t

Substituindo o m t que encontramos :

m n = -   1 20

Acalma o coração que está quase lá, só falta colocarmos o que encontramos na equação da reta.

y - y 0 = m n ( x - x 0 )

Lembrando que esse x 0   e y 0 são as coordenadas do ponto P.

Então, a equação da reta normal será

y - - 5 = - 1 20 ( x - 4 )

Isolando y:

y = - x + 4 20 - 5

Fazendo o mmc:

y = - x + 4 - 100 20

y = - x 20 - 96 20

Simplificando a fração - 96 20   dividindo por 4 em cima e embaixo, obteremos

y = - x 20 - 24 5

Resposta

y = - x 20 - 24 5

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