Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 28
Se encontre e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos pede pra calcular sabendo que:
Depois disso precisamos calcular a reta tangente a curva de no ponto )!
Antes de qualquer coisa vamos relembrar como é a equação da reta tangente à uma curva em um ponto específico!
A reta tangente a curva em um ponto é a reta passando por com inclinação igual a:
E para o caso que queremos, a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:
Vamos adaptar essa equação para nossa questão.
E é assim que a gente vai calcular a reta tangente a curva de no ponto )! Bora lá?!
Passo 2
Vimos que a equação da reta tangente a curva em um ponto , é do tipo:
E lembrando que a curva dada pelo enunciado tem função:
E queremos a equação da reta no ponto .
Assim:
E
Vamos encontrar esse valor de .
Passo 3
Calculando , teremos:
Mas se calcularmos o limite agora vamos chegar em uma indeterminação, veja:
Então vamos manipular a nossa equação antes:
Passo 4
Perceba que o numerador é um produto notável do tipo “diferença de quadrados”. Então podemos fatorar esse produto da seguinte forma:
Assim, teremos:
E podemos fatorar novamente:
Ao fazer isso, poderemos simplificar o que está no numerador como o que está no denominador. Dessa forma teremos:
Perfeito. Agora vamos tentar calcular esse limite novamente.
Passo 5
Calculando o limite:
Maravilha!!!
Achamos , agora vamos para a expressão da reta tangente!
Passo 6
Pra achar a reta tangente no ponto faremos:
Terminamos de ver que . Substituindo tudo:
e reorganizando, ficamos com:
Temos então a equação da reta tangente no ponto
Prontinho!