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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 39

39. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ x + 1 x d x

Passo 1

Como queremos expressar como uma função racional, temos que sumir com essa raiz. Então, vamos a seguinte substituição:

u = x + 1

Logo,

u 2 = x + 1

Derivando, temos:

2 u d u = d x

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ x + 1 x d x

E vai ficar assim ó:

I = ∫ u u 2 - 1 2 u d u

Assim,

I = 2 ⋅ ∫ u 2 u 2 - 1

Repare que u 2 u 2 - 1 = 1 + 1 u 2 - 1

Então,

I = 2 ⋅ ∫ 1 + 1 u 2 - 1 d u

Fatorando o segundo termo, temos:

1 u 2 - 1 = 1 u - 1 u + 1

Opa, agora vamos ter que dividir em frações parciais. Vem comigo!

1 u - 1 u + 1 =   A u - 1 + B u + 1

Passo 3

Deixando tudo no mesmo denominador:

1 u - 1 u + 1 = A u + 1 + B ( u - 1 ) u - 1 u + 1

Portanto,

1 u - 1 u + 1 = u A + B + ( A - B ) u - 1 u + 1

Montando o sistema:

A + B = 0 A - B = 1

Então,

A = 1 / 2 e B = - 1 / 2

Agora é vamos voltar para nossa expressão

1 u - 1 u + 1 =   1 / 2 u - 1 + - 1 / 2 u + 1

Agora vamos partir para integral, antes tínhamos o seguinte:

I = 2 ⋅ ∫ 1 + 1 u 2 - 1 d u

Agora ela ficou assim:

I = 2 ⋅ ∫ 1 + 1 / 2 u - 1 + - 1 / 2 u + 1     d u

Arrumando as coisas:

I = ∫ 2 + 1 u - 1 - 1 u + 1 d u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I = 2 u + ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u + 1 + C

Voltando para variável x ( u = x + 1 ):

I = 2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 - 1 - ln ⁡ x + 1 + 1 + C

Resposta

2 x + 1 + ln ⁡ x + 1 - 1 - ln ⁡ x + 1 + 1 + C

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