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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 12

Calcule a integral

int_0^1 (x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) d x

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema? Temos que calcular a seguinte integral:

int_0^1 (x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) d x

A ideia aqui é reescrever a função de uma forma mais simples, para que seja mais fácil calcular a integral! Pra isso vamos usar frações parciais da seguinte forma:

(x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) = (A)/(x + a) + (B)/(x + b)

Nesse momento a gente está supondo que o denominador é uma função quadrática com duas raízes reais, que são - a e - b . Não é garantido que isso vai dar certo, mas é uma boa suposição! Vamos tentar calcular a e b , se acharmos podemos prosseguir, se não, tentamos de outro jeito!

Podemos dizer que:

x^2 + 5 x + 6 = (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + a b

Então:

a b = 6

a + b = 5

Essa é a hora de soltar a nossa imaginação e pensar em dois números que quando multiplicados dão 6 e somados dão 5 . Nesse caso temos:

a = 2

b = 3

Então:

x^2 + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Pode testar abrindo a função se você quiser! Essa técnica é legal pra quando temos uma função quadrática simples. Pra uma função complicada é melhor usar bhaskara!

Podemos então dizer que:

(x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) = (A)/(x + 2) + (B)/(x + 3)

Passo 2

Podemos então dizer que:

(x - 4)/(x^2 + 5 x + 6) = (A)/(x + 2) + (B)/(x + 3)

Logo,

(x - 4)/((x + 2) (x + 3)) = (A (x + 3) + B (x + 2))/((x + 2) (x + 3))

Isto é,

(x - 4)/((x + 2) (x + 3)) = (x (A + B) + ( 3 A + 2 B ))/((x + 2) (x + 3))

Comparando os coeficientes dos denominadores:

{[[A + B = 1],[3 A + 2 B = - 4]])

Resolvendo o sistema, temos:

A = - 6 e B = 7

Passo 3

Agora vamos voltar para nossa integral!

I = int_0^1 (x - 4)/((x + 2) (x + 3)) d x = int_0^1 ((- 6)/(x + 2) + (7)/(x + 3)) d x

Vamos resolver as integrais separadamente:

int_0^1 (- 6)/(x + 2) d x

Podemos fazer:

u = x + 2

(d u)/(d x) = 1 -> d x = d u

int (- 6)/(x + 2) = int (- 6)/(u)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + C

int (- 6)/(u) = - 6 ln |u| + C = - 6 ln |x + 2| + C

De forma simular, temos:

int (7)/(x + 3) d x = int (7)/(u) d u = 7 ln |u| + C = - 7 ln |x + 3| + C

Então temos:

int_0^1 (x - 4)/((x + 2) (x + 3)) d x = (- 6 * ln |x + 2| + 7 ln |x + 3|) |_0^1

Aplicando entre os ponto 0 e 1 :

I = (- 6 * ln |3| + 7 ln |4|) - (- 6 * ln |2| + 7 ln |3|)

I = - 6 * ln |3| + 7 ln |4| + 6 * ln |2| - 7 ln |3|

I = 20 ln (2) - 13 ln (3)

Resposta

I = 20 ln (2) - 13 ln (3)

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