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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 42

39-42. Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.

42. ∫ 5 + 2 ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Então galera, a substituição mais viável aqui para convertermos o integrando em uma função racional é fazer:

u = 1 + ln ⁡ x

Disso tiramos que:

d u = 1 x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 5 + 2 ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x 2 d x = ∫ 2 u + 3 u 2 d u

Beleza, simplificamos bastante nossa integral. Vamos continuar!

Passo 2

Da integral que encontramos agora, podemos separar dessa forma:

∫ 2 u + 3 u 2 d u = ∫ 2 u u 2 d u + ∫ 3 u 2 d u

2 ∫ 1 u d u + 3 ∫ u - 2 d u

Opa, agora sim ficou tranquilo de resolver! A primeira integral tem como resultado:

2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ u + C 1

A segunda integral tem como resultado:

3 ∫ u - 2 d u = - 3 u + C 2

Juntando as duas integrais, teremos:

2 ∫ 1 u d u + 3 ∫ u - 2 d u = 2 ln ⁡ u - 3 u + C

Passo 3

Beleza, resolvemos nossa integral. No entanto, queremos o resultado em termos de x , que é a nossa variável inicial. Sendo assim, como u = 1 + ln ⁡ x , teremos que:

2 ln ⁡ u - 3 u + C = 2 ln ⁡ 1 + ln ⁡ x - 3 1 + ln ⁡ x + C

∴ ∫ 5 + 2 ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x 2 d x = 2 ln ⁡ 1 + ln ⁡ x - 3 1 + ln ⁡ x + C

E esse é o nosso resultado, pessoal! 😊

Resposta

∫ 5 + 2 ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x 2 d x = 2 ln ⁡ 1 + ln ⁡ x - 3 1 + ln ⁡ x + C

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