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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 47

Calcule a integral abaixo:

47 –

int (sqrt(x + 1))/(x) d x

Dica: Utilize x + 1 = u^2

Passo 1

int (sqrt(x + 1))/(x) d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u^2 = x + 1 ; u = sqrt(x + 1) ; x = u^2 - 1

d u = (1)/(2 sqrt(x + 1))

d x = (1)/(d u) = (1)/((1)/(2 sqrt(x + 1))) = 2 sqrt(x + 1)

Substituindo:

int (u)/(u^2 - 1) * 2 u d u = int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u = int 2 + (2)/(u^2 - 1) d u = int 2 d u + 2 int (1)/(u^2 - 1) d u

Realizando pelo método de frações parciais:

(1)/(u^2 - 1) = (1)/(( u + 1 ) ( u - 1 ))

(1)/(( u + 1 ) ( u - 1 )) = (A)/(u + 1) + (B)/(u - 1)

Tirando mmc:

(1)/((u + 1) (u - 1)) = (A ( u - 1 ) + B ( u + 1 ))/(( u + 1 ) ( u - 1 ))

Simplificando os denominadores temo:

1 = A ( u - 1 ) + B ( u + 1 )

Aplicando a distributiva:

1 = A u - A + B u + B

Colocando em evidência:

1 = (A + B) u - A + B

A + B = 0

- A + B = 1

Assim:

- A = - B + 1 ; A = B - 1

Substituindo:

B - 1 + B = 0 ; 2 B = 1 ; B = (1)/(2)

- A + (1)/(2) = 1 ; - A = 1 - (1)/(2) ; - A = (1)/(2) ; A = - (1)/(2)

SubstItuindo:

(1)/(( u + 1 ) ( u - 1 )) = - (1)/(2 ( u + 1 )) + (1)/(2 ( u - 1 ))

Inserindo na integral:

int 2 d u + 2 * (1)/(2) int - (1)/(u + 1) + (1)/(u - 1) d u = int 2 d u - int (1)/(u + 1) d u + int (1)/(u - 1) d u

Passo 2

Organizando a integral:

int 2 d u - int (1)/(u + 1) d u + int (1)/(u - 1) d u

Realizando a primeira integral:

int 2 d u = 2 u

Resolvendo a segunda integral:

- int (1)/(u + 1) d u = - ln (|u + 1|)

Resolvendo a terceira integral:

int (1)/(u - 1) d u = ln (|u - 1|)

Passo 3

Juntando as integrais:

2 u - ln (|u + 1|) + ln (|u - 1|)

Substituindo, usando u = sqrt(x + 1)

2 sqrt(x + 1) + ln (|(sqrt(x + 1) - 1)/(sqrt(x + 1) + 1)|) + C

Resposta

2 sqrt(x + 1) + ln (|(sqrt(x + 1) - 1)/(sqrt(x + 1) + 1)|) + C

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