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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 13

13) int (1)/(x^2 + 5) d x

Passo 1

I = int (1)/(x^2 + 5) d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas as raízes dessa equação são complexas. Então vamos tentar outra coisa!

Colocando o 5 em evidencia:

I = int (1)/(5 * ((x^2)/(5) + 1)) d x = (1)/(5) * int (1)/(((x^2)/(5) + 1)) d x = (1)/(5) * int (1)/(((x)/(sqrt(5)))^2 + 1) d x

Passo 2

Pra facilitar, podemos fazer a seguinte substituição:

u = (x)/(sqrt(5))

Derivando,

d u = (d x)/(sqrt(5))

Logo,

I = (1)/(5) * int (1)/((u)^2 + 1) * sqrt(5) d u = (sqrt(5))/(5) * int (d u)/(1 + u^2)

Não esquece: int (d u)/(1 + u^2) = arctan (u) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = (sqrt(5))/(5) int (d u)/(1 + u^2) = (sqrt(5))/(5) * arctan (u) + c

Voltando para x :

I = (sqrt(5))/(5) * arctan ((x)/(sqrt(5))) + c

Resposta

(sqrt(5))/(5) * arctan ((x)/(sqrt(5))) + c

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