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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 48

Calcule a integral abaixo:

48 –

int (1)/(x sqrt(x + 9)) d x

Passo 1

int (1)/(x sqrt(x + 9)) d x

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u^2 = x + 9 ; u = sqrt(x + 9) ; x = u^2 - 9

d u = (1)/(2 sqrt(x + 9))

d x = (1)/(d u) = (1)/((1)/(2 sqrt(x + 9))) = 2 sqrt(x + 9)

Substituindo:

int (1)/(x sqrt(x + 9)) * 2 sqrt(x + 9) d u = int (2)/(x) d u = int (2)/(u^2 - 9) d u = 2 int (1)/(u^2 - 9) d u

Realizando pelo método de frações parciais:

(1)/(u^2 - 9) = (1)/(( u + 3 ) ( u - 3 ))

(1)/(( u + 3 ) ( u - 3 )) = (A)/(u + 3) + (B)/(u - 3)

Tirando mmc:

(1)/((u + 3) (u - 3)) = (A ( u - 3 ) + B ( u + 3 ))/(( u + 3 ) ( u - 3 ))

Simplificando os denominadores temos:

1 = A ( u - 3 ) + B ( u + 3 )

Aplicando a distributiva:

1 = A u - 3 A + B u + 3 B

Colocando em evidência:

1 = (A + B) u - 3 A + 3 B

A + B = 0

- 3 A + 3 B = 1

Assim:

3 A = 3 B - 1 ; A = (3 B - 1)/(3)

Substituindo:

(3 B - 1)/(3) + B = 0 ; (3 B)/(3) - (1)/(3) + B = 0 ; B + B - (1)/(3) = 0 ; 2 B - (1)/(3) = 0 ; 2 B = (1)/(3) ; B = (1)/(6)

A + (1)/(6) = 0 ; A = - (1)/(6)

SubstItuindo:

(1)/(( u + 3 ) ( u - 3 )) = - (1)/(6 ( u + 3 )) + (1)/(3 ( u - 3 ))

Inserindo na integral:

2 * (1)/(6) int - (1)/(u + 3) + (1)/(u - 3) d u = (1)/(3) (- int (1)/(u + 3) d u + int (1)/(u - 3) d u)

Passo 2

Organizando a integral:

Realizando a primeira integral:

- (1)/(3) int (1)/(u + 3) d u = - (1)/(3) ln (|u + 3|)

Resolvendo a segunda integral:

(1)/(3) int (1)/(u - 3) d u = (1)/(3) ln (|u - 3|)

Passo 3

Juntando as integrais:

- (1)/(3) ln (|u + 3|) + (1)/(3) ln (|u - 3|) + C

Substituindo, usando u = sqrt(x + 9)

(1)/(3) ln (|(sqrt(x + 9) - 3)/(sqrt(x + 9) + 3)|) + C

Resposta

(1)/(3) ln (|(sqrt(x + 9) - 3)/(sqrt(x + 9) + 3)|) + C

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