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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 16

16) int (1)/(x^2 - x - 2) d x

Passo 1

I = int (1)/(x^2 - x - 2) d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas antes temos que fatorar o denominador.

Como as raízes do polinômio x^2 - x - 2 são x = 2 e x = - 1 , temos:

x^2 - x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 1 )

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = int (1)/(x^2 - x - 2) d x

E vai ficar assim:

I = int (1)/((x - 2) (x + 1)) d x

Dividindo em frações parciais, temos:

(1)/((x - 2) (x + 1)) = (A)/(x - 2) + (B)/(x + 1)

Deixando os denominadores iguais:

(1)/((x - 2) (x + 1)) = (A * (x + 1) + B * ( x - 2 ))/((x - 2) (x + 1))

Fazendo a distributiva:

(1)/((x - 2) (x + 1)) = ((A + B) x + ( A - 2 B ))/((x - 2) (x + 1))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

0 * x + 1 = (A + B) x + ( A - 2 B )

{[[A + B = 0 ( i )],[A - 2 B = 1 ( i i )]])

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

- 3 B = 1

A = (1)/(3) e B = - (1)/(3)

Não esquece: int (1)/(u) d u = ln |u| + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = (int ((1)/(3))/(x - 2) d x + int ((- 1)/(3))/(x + 1) d x) = (1)/(3) * int (d x)/(x - 2) - (1)/(3) * int (d x)/(x + 1)

Portanto,

I = (1)/(3) * ln |x - 2| - (1)/(3) * ln |x + 1| + c

Resposta

(1)/(3) * ln |x - 2| - (1)/(3) * ln |x + 1| + c

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