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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 43

39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

43. sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x ,   - π ≤ x ≤ 3 π

Passo 1

Então pessoal, esse tipo de questão é bastante característico do conteúdo de máximos e mínimos, então vamos resolver a questão passo a passo e com cuidado para arrasarmos nas próximas questões com facilidade, ok? Show, bora lá!

A função que nos foi dada é a seguinte:

f x = sin 2 ⁡ x - cos ⁡ x ,   - π ≤ x ≤ 3 π

Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Passo 2

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Colocando sin ⁡ x em evidência, teremos o seguinte:

f ' x = sin ⁡ x 2 cos ⁡ x + 1

Se igualarmos isso a zero, obteremos a seguinte relação:

sin ⁡ x 2 cos ⁡ x + 1 = 0

Ou seja, temos duas possibilidades:

sin ⁡ x = 0 2 cos ⁡ x + 1 = 0 ⇒ cos ⁡ x = - 1 2

Como a questão nos indica um intervalo de - π ≤ x ≤ 3 π , teremos que para a primeira igualdade os valores de x serão esses aqui ó:

x = - π ,   0 ,   π ,   2 π ,   3 π

E para a segunda igualdade os valores de x serão:

x = - 2 3 π , 2 3 π , 4 3 π , 8 3 π

Caso essa parte da trigonometria pareça complicada pra você, então nossa sugestão é dar uma relembrada nesse tipo de função pelos módulos do respondeaí mesmo, tudo bem? Então esses são os pontos de extremo relativo da nossa função, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Reescrevendo nossa derivada primeira, teremos:

f ' x = sin ⁡ 2 x + cos ⁡ x

Derivando nossa derivada:

f ' ' x = 2 cos ⁡ 2 x - sin ⁡ x

Como cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sin 2 ⁡ x , então teremos:

f ' ' x = 2 - 4 sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x = - 4 sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x + 2

Fazendo u = sin ⁡ x e igualando a nossa derivada a zero, teremos o seguinte:

- 4 u 2 - u + 2 = 0

Da Bhaskára, tiramos:

u = 1 ± - 1 2 - 4 . - 4 . 2 2 . - 4 = 1 ± 1 + 32 - 8

Logo:

u 1 = - 1 + 33 8   e   u 2 = - 1 - 33 8

Show!

Passo 4

Como fizemos u = sin ⁡ x , agora temos que voltar para a nossa variável, certo? Logo, os valores que satisfazem a igualdade são:

sin ⁡ x = - 1 + 33 8   e sin ⁡ x = - 1 - 33 8

E claro, só conseguimos descobrir esses valores de x utilizando alguma calculadora mesmo, pois não são ângulos notáveis! Sendo assim, nossos valores de x serão:

x = ± 2,57 ;   ± 0,94 ;   3,71 ; 5,35 ; 7,22   e   8,86

E esses são nossos pontos de inflexão, pessoal! 😉

Esboçando o gráfico da função para conferirmos nosso trabalho, teremos algo assim:

E está aí nossa resolução, guys!

Resposta

Pontos de extremos relativos: x = - π ,   0 ,   π ,   2 π ,   3 π ,   - 2 3 π , 2 3 π , 4 3 π , 8 3 π ;

Pontos de inflexão: x = ± 2,57 ;   ± 0,94 ;   3,71 ; 5,35 ; 7,22   e   8,86 ;

Gráfico da função:

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