Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 83
Suponha que e . Prove que nem , nem existem, mas que existe.
Passo 1
Essa é uma questão interessante para usarmos como um contra exemplo da regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se existir e se existir, então existe e é dado por
Assim, muita gente pensa que se ou não existirem, então não vai existir, o que não é sempre verdade. A única coisa que podemos afirmar nesse caso é que a regra da cadeia não é válida, não que a composta não é derivável.
Note que nesse caso, , de modo que não existir é equivalente a não existir, o que é uma das hipóteses para que possamos aplicar a regra da cadeia para calcular .
Vamos provar primeiro que e não existem e para fazermos isso, não podemos usar as regras de derivação: precisamos recorrer a definição de derivada usando limite:
Uma função é derivável em se o limite a seguir existir:
Desta forma, testaremos esse limite com para as funções e .
Passo 2
Vamos provar primeiro que não existe :
Tomando os limites laterais:
Usei que
Assim, para , , de modo que , enquanto para , .
Desta forma, temos que
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe de modo que não é derivável em , isto é, não existe!
Para , fazemos a mesma coisa:
Assim, os limites laterais serão diferentes:
Assim, o limite não existe, de modo que não existe.
Passo 3
Agora, nos resta mostrar que existe. Para isso, vamos achar uma expressão explícita para fazendo a composta:
Assim,
Portanto,
Essa é uma expressão bem feia. Para simplificar, vamos separar em dois casos: e . Para , temos que . Assim,
Já para , temos que :
Assim, em ambos os casos obtemos a mesma expressão, de modo que para todo real:
Essa expressão é claramente derivável com
Em particular:
Portanto, existe!
Resposta
Demonstração.