Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 41
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.
Passo 1
Opa, vamos fazer essa questão! Temos a seguinte curva:
E o enunciado pede pra a gente encontrar as suas as assíntotas horizontais e verticais e depois confirmar que o cálculo está certo esboçando o gráfico da função!
Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para tendendo a e
Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida.
Bora colocar a mão na massa então!
Passo 2
Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para e .
Concorda comigo que vezes o infinito é muuuuito maior que , né? Ou seja:
E que o infinito é muuuuito maior que , certo? Ou seja:
Em outras palavras podemos desprezar o e o na função dentro do limite de tal forma que podemos reescrever o nosso limite assim:
Da mesma forma temos:
Então isso nos diz que temos uma assíntota horizontal em .
Portanto, é uma assíntota horizontal!
Passo 3
Lá em cima falamos que assíntotas verticais estão relacionadas a um ponto onde a nossa função não está definida, vamos observar a nossa função:
Concorda comigo que à medida que nos aproximamos de o nosso denominador tende a e o que acontece quando dividimos um número por outro beeeem pequeninho?!
Isso mesmo, temos um resultado beeeem grande, que pode ser positivo ou negativo! Então teremos uma assíntota vertical em , de modo que:
Passo 4
Fazendo um gráfico, temos:
Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas são realmente aquelas!
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntota vertical:
