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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 42

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

42. x = y 2 + z 2 + 1 ,   3 ,   1 ,   - 1

Passo 1

Então, pessoal... Aqui nós temos a equação

x = y 2 + z 2 + 1

E queremos encontrar o plano tangente no ponto 3,1 , - 1 .   Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

No qual ( x o ,   y o ,   z o ) é o ponto que nos foi dado e F x ,   y ,   z = y 2 + z 2 - x + 1

Além disso, F x ,   F y ,   F z são as derivadas parciais que devemos encontrar.

Depois de encontrar o plano tangente nesse ponto, vamos ainda obter uma equação para a reta normal a essa superfície.

Vamos começar então...

Passo 2

Descobrindo quem são essas derivadas parciais no ponto que nos foi dado:

F x ,   y ,   z = y 2 + z 2 - x + 1

Derivando com relação a x , obtemos

F x = - 1

Substituindo o ponto dado, 3,1 , - 1 :

F x 3 ,   1 ,   - 1 = - 1

Derivando com relação a y , obtemos

F y = 2 y

Substituindo 3 ,   1 ,   - 1 :

F y 3 ,   1 ,   - 1 = 2 ⋅ 1 = 2

Derivando com relação a z , obtemos

F z = 2 z

Substituindo 3 ,   1 ,   - 1 :

F z 3 ,   1 ,   - 1 = 2 ⋅ - 1 = - 2

Passo 3

Tudo bem, agora que descobrimos as derivadas parciais no ponto vamos substituir os valores na expressão do passo 1, saca só:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

Portanto,

- 1 . x - 3 + 2 . y - 1 - 2 . z + 1 = 0

- x + 3 + 2 y - 2 - 2 z - 2 = 0

∴ 2 y - 2 z - x = 1

Que é a equação do plano tangente!

Passo 4

Já para encontrarmos uma equação da reta normal, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

x - x o F x x o ,   y o ,   z o = y - y o F y x o ,   y o ,   z o = z - z o F z x o ,   y o ,   z o

Como já calculamos tudo nos passos anteriores, fica tranquilão determinar essa equação da reta normal, se liga:

x - 3 - 1 = y - 1 2 = z + 1 - 2

E está aí a equação da reta normal!

Resposta

a) 2 y - 2 z - x = 1

b) x - 3 - 1 = y - 1 2 = z + 1 - 2

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