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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 24

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

P = u 2 + v 2 + w 2 ,             u = x e y ,             v = y e x ,             w = e x y ;

∂ P ∂ x ,     ∂ P ∂ y               q u a n d o   x = 0     e     y = 2

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

Nesse problema nós temos a função

P = u 2 + v 2 + w 2

que é uma função de três variáveis. Essas três variáveis dependem ainda de duas variáveis, x e y .

Sabendo disso, precisamos calcular

∂ P ∂ x     e     ∂ P ∂ y

quando x = 0 e y = 2 .

Para calcular essas derivadas nós vamos precisar da regra da cadeia, visto que P não depende diretamente de x e y .  

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) onde x = x ( t ) e queremos determinar a derivada de f com relação a esse parâmetro t , devemos fazer

d f d t = d f d x ⋅ d x d t

Analogamente, se temos uma função P = P ( u , v , w ) , onde essas variáveis dependem de outras duas variáveis x e y , devemos aplicar a mesma lógica acima. Cada variável da função P vai dar origem a um termo, portanto teremos a soma de três termos:

∂ P ∂ x = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ x

Da mesma forma, em relação à variável y , teremos:

∂ P ∂ y = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ y

Beleza? Então vamos às contas...

Passo 2

Vamos tomar as derivadas com relação a u , v e w :

Lembrando que P = u 2 + v 2 + w 2 ,   teremos

∂ P ∂ u = u u 2 + v 2 + w 2

∂ P ∂ v = v u 2 + v 2 + w 2

∂ P ∂ w = w u 2 + v 2 + w 2

Quando x = 0 e y = 2 , temos que

u = 0

v = 2

w = 1

Assim, substituindo esses valores nas derivadas acima, encontramos:

∂ P ∂ u = 0

∂ P ∂ v = 2 5

∂ P ∂ w = 1 5

Passo 3

Agora fazemos as derivadas de u , v e w com relação a x e y :

Lembrando que u = x e y ,             v = y e x ,             w = e x y , teremos:

∂ u ∂ x = e y             e           ∂ u ∂ y = x e y

∂ v ∂ x = y e x             e           ∂ v ∂ y = e x

∂ w ∂ x = y e x y             e           ∂ w ∂ y = x e x y

Assim, com x = 0 e y = 2 :

∂ u ∂ x = e 2             e           ∂ u ∂ y = 0

∂ v ∂ x = 2             e           ∂ v ∂ y = 1

∂ w ∂ x = 2             e           ∂ w ∂ y = 0

Passo 4

Substituindo todos os resultados acima nas expressões das derivadas:

∂ P ∂ x = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ x

∂ P ∂ x = 0 ⋅ e 2 + 2 5 ⋅ 2 + 1 5 ⋅ 2

Logo,

∂ P ∂ x = 6 5

Analogamente,

∂ P ∂ y = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ y

∂ P ∂ y = 0 ⋅ 0 + 2 5 ⋅ 1 + 1 5 ⋅ 0

Portanto,

∂ P ∂ y = 2 5

Resposta

∂ P ∂ x = 6 5

∂ P ∂ y = 2 5

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Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v , usando a regra da cadeia z= e x y,x = u c o s v,y = u s e n v
Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + x^2 + y^2 , com x (t) = r c o s t e y (t) = r s e n t , encontrar (del f)/(del r) e (del f)/(del t)
Verificar a regra da cadeia para a função f (x , y) = ln x y , x = 2 u^2 + v^4 , y = 3 u^2 + v^2
Verificar a regra da cadeia para a função z = sqrt(u^2 + v^2 + 5) , u = c o s x , v = s e n y
Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v , usando a regra da cadeia z= ln ⁡ ( x 2 + y 2 ),x = c o s u c o s v,y =s e n u c o s v