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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 1f

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x , y = x y   e m   1 2 , 1 2 , f 1 2 , 1 2

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = y

f y = x

Substituindo no ponto 1 2 , 1 2

f x 1 2 , 1 2 = 1 2

f y 1 2 , 1 2 = 1 2

Precisamos também da função neste ponto

f 1 2 , 1 2 = 1 4

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 1 2 , 1 2 = f x 1 2 , 1 2 x - 1 2 + f y 1 2 , 1 2 y - 1 2

z - 1 4 = 1 2 x - 1 2 + 1 2 y - 1 2

z - 1 4 = x 2 - 1 4 + y 2 - 1 4

Multiplicando tudo por 2

2 z - 1 2 = x + y - 1

x + y - 2 z = 1 2

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 1,1 , - 2 no ponto dado 1 2 , 1 2 , 1 4 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 1 2 , 1 2 , 1 4 + t 1,1 , - 2 ,     t ∈ R

Resposta

x + y - 2 z = 1 2

x , y , z = 1 2 , 1 2 , 1 4 + t 1,1 , - 2 ,     t ∈ R

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Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = arctg ⁡ x - 2 ye m2 , 1 2 , f 2 , 1 2