Exercícios de Reta Normal - Lista de Exercícios Resolvida

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

Em , é dada por , .

A reta normal à superfície no ponto intercepta o plano no ponto :

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .

a) Determine uma equação da reta .

b) Determine as coordenadas do ponto .

Considere a função definida por

E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.

Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto .

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

Considere a função

1. Esboce a superfície de nível que passa pelo ponto .
2. Determine o ponto de interseção da reta normal a que passa pelo ponto , com o plano .
3. Encontre os pontos da superfície nos quais o plano tangente a é paralelo ao plano .

Considere a superfície dada pela equação

Quais são as equações do plano tangente e da reta normal a no ponto ?

1. e , ,
2. e , ,
3. e , ,
4. e , ,
5. Nenhuma das outras alternativas

A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .

a) Determine uma equação da reta .

b) Determine as coordenadas do ponto .

Seja a superfície dada pela equação .

a) Existe apenas um ponto na superfície tal que a reta normal a em contém os pontos e . Determine o ponto .

b) Sejam e diferenciáveis com . Suponha que a imagem de é a interseção do gráfico de com a superfície , dada no item , e que o ponto pertente à imagem de .

Determine de modo que os planos tangente ao gráfico de e à sejam ortogonais no ponto e dê uma equação da reta tangente à no ponto .

Considere a curva espacial parametrizada por

Seja traço de .

1. Obtenha e tal que
2. Seja uma outra função real de variáveis, satisfazendo:

Onde .

Seja a composta .

Escreva a derivada em termo de .

3. Seja a função dada no item . Considere também a função definida no item . Note que é uma função real de uma variável real.

Assuma no presente item que . Exiba a equação paramétrica da reta normal ao gráfico de em (no ponto , em termos de .

2. Seja e . Obtenha:

a)

b) A equação de , a superfície de nível de que contém .

c) A equação da reta normal à em .

d) A equação do plano tangente à em .

Seja a superfície de equação , onde é diferenciável em . Se a reta

É normal a em , então

Vale:

Determine a equação da reta normal ao gráfico de cada função a seguir no ponto

a indicado.

no ponto

Suponha que uma partícula é ejetada da superfície

A partir do ponto ao longo da direção normal à superfície. Calcule o ponto em que a partícula cruza o plano .

Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície

Contendo o ponto

Considere

Sabendo que .

1. Esboce a superfície de nível , ou seja

No esboço de , desenhe a curva e parametrize .

2. Seja a superfície do item . Encontre a equação cartesiana do plano tangente à superfície no ponto , explicitando o vetor normal neste ponto.
3. Encontre uma equação paramétrica da reta normal a superfície no ponto .

3 – Considere a função .

f) Dê equações paramétricas para a reta normal ao gráfico de no ponto .

Considere

Sabendo que .

1. Esboce a superfície de nível , ou seja

Identifique como sendo um cone ou um paraboloide ou um hiperboloide ou um elipsoide ou uma esfera.

2. Seja a superfície do item . Encontre a equação cartesiana do plano tangente à superfície no ponto , explicitando o vetor normal neste ponto.
3. Encontre uma equação paramétrica da reta normal a superfície no ponto .

Considere a superfície

E o ponto :

1. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado
2. Encontre uma equação da reta normal à superfície no ponto dado.

Encontre equações para o plano tangente e para a reta normal à superfície

Na origem.

Seja

1. Classifique a matriz , associada a forma quadrática

Como estritamente positiva definida ou estritamente negativa definida ou indefinida. Justifique sua resposta.

2. Encontre uma matriz ortogonal

Tal que, suas colunas são compostas pelos vetores unitários diretores dos eixos das cônicas . Sabendo que através de mudança de coordenadas

(ou seja, tomando e ), podemos reescrever na forma

Explicite o valor das constantes reais , e e classifique a cônica como uma elipse ou uma hipérbole, justificando a resposta.

3. Escreva a equação paramétrica da reta normal a cônica no ponto .

A reta normal à superfície no ponto intercepta o plano no ponto :

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3. Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície , contendo o ponto .

2 - Considere a superfície .

b) Determine as equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto .

(Capítulo 14.6 – Exercício 42) Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

a)Calcule o rotacional do campo vetorial: , onde .

Seja uma função diferenciável. Sabe-se que a reta normal ao gráfico de no ponto é dada por

Assinale a alternativa cuja curva não pode ser a curva de nível de contendo o ponto

Seja

d) Seja dada por . Sabendo que a imagem da curva está contida no gráfico de f, encontre o vetor tangente a em .

A curva Astróide é constituída dos pares para os quais

Determine o ponto da astróide mais próximo da origem, e o ponto da astróide mais distante da origem. Calcule a distância entre cada um desses pontos e a origem.