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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 1a

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x , y = 2 x 2 y   e m   1,1 , f 1,1

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = 4 x y

f y = 2 x 2

Substituindo no ponto 1,1

f x 1,1 = 4

f y 1,1 = 2

Precisamos também da função neste ponto

f 1,1 = 2

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 1,1 = f x 1,1 x - 1 + f y ( 1,1 ) ( y - 1 )

z - 2 = 4 x - 1 + 2 ( y - 1 )

z - 2 = 4 x - 4 + 2 y - 2

4 x + 2 y - z = 4

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 4,2 , - 1 no ponto dado 1,1 , 2 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 1,1 , 2 + t 4,2 , - 1 ,     t ∈ R

Resposta

4 x + 2 y - z = 4

x , y , z = 1,1 , 2 + t 4,2 , - 1 ,     t ∈ R

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