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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 1b

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x , y = x 2 + y 2   e m   0 , 1 , f 0 , 1

Passo 1

Podemos encontrar o plano tangente pela fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto dado. Vamos então calcular as derivadas

f x = 2 x

f y = 2 y

Substituindo no ponto 0 , 1

f x 0,1 = 0

f y 0,1 = 2

Precisamos também da função neste ponto

f 0,1 = 1

Substituindo todos os valores na equação do plano

z - f 0,1 = f x 0,1 x - 0 + f y ( 0,1 ) ( y - 1 )

z - 1 = 0 x - 0 + 2 ( y - 1 )

z - 1 = 2 y - 2

2 y - z = 1

Passo 2

Para encontrar a reta normal ao plano, podemos usar o vetor normal, que tiramos dos coeficientes da equação do plano n → = 0 , 2 , - 1 no ponto dado 0 , 1 , 1 e jogamos na fórmula da equação da reta

x , y , z = 0,1 , 1 + t 0 , 2 , - 1 ,     t ∈ R

Resposta

2 y - z = 1

x , y , z = 0,1 , 1 + t 0,2 , - 1 ,     t ∈ R

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