42. A base de um sólido é a região encerrada por um círculo com 2 unidades de raio. Ache o volume do sólido se todas as secções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem quadradados.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários quadrados.Se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse quadrado que vai ser 2 y 2 (base ao quadrado).

Passo 2

A equação da circunferência da base é

x 2 + y 2 = 7 2

Isolando y,

x 2 + y 2 = 7 2

y = 49 - x 2

E a área do retângulo será

A x = 2 49 - x 2 2  

A x = 4 ( 49 - x 2 )

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = ∫ - 7 7 4 ( 49 - x 2 )   d x

Devido a simetria da figura, podemos reescrever a integral como

V = 2 ∫ 0 7 4 ( 49 - x 2 )   d x

= 8 49 x - x 3 3   | 0 7

= 8 49 ⋅ 7 - 7 3 3 - 8 0

= 8 343 - 343 3

= 8 686 3

= 4116 3

Resposta

= 4116 3

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