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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 50

Suponha que determinada empresa estime o crescimento de sua receita devido às vendas pela fórmula d S d t = 2 t - 1 2 / 3 , onde S milhões é a receita bruta das vendas daqui a t anos. Se a receita bruta das vendas do ano corrente dor de 8 milhões, qual deverá ser a receita bruta esperada daqui a 2 anos?

Passo 1

Sabemos que se temos a taxa de crescimento (a derivada) f ' ( x ) de uma função f , podemos chegar às funções que possuem essa derivada aplicando o processo inverso da diferenciação, a integração. Se integrarmos então a função rendimento marginal d S d t = 2 t - 1 2 / 3 podemos chegar então a uma família de equações que estão no formato da função S ( x ) .

Passo 2

Temos então:

d S d t = 2 t - 1 2 / 3 ⇒ d S = 2 t - 1 2 / 3 d t ⇒ S t = ∫ 2 t - 1 2 / 3 d t

∫ 2 t - 1 2 / 3 d t = 2 t - 1 2 3 + 1 2 3 + 1 + C = 2 t - 1 5 / 3 5 3 + C = 6 t - 1 5 / 3 5 + C

Mas a função ainda está incompleta, precisamos achar agora o valor de C .

Passo 3

Pelos dados do problema, sabemos que S 0 = 8 , pois para o ano atual temos t = 0 e um rendimento de 8 milhões. Então:

6 0 - 1 5 / 3 5 + C = 8 ⇒ - 6 5 + C = 8 ⇒ C = 8 + 6 5 = 40 + 6 5 = 46 5

Agora temos a equação completa:

S t = 6 t - 1 5 / 3 + 46 5

Passo 4

Agora só o que temos que fazer é calcular o valor da função para t = 2 :

S 2 = 6 2 - 1 5 / 3 + 46 5 = 6 ⋅ 1 5 / 3 + 46 5 = 6 + 46 5 = 52 5 = 10,4   m i l h õ e s

Resposta

S 2 = 10,4   m i l h õ e s

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