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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 17

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

x = y 2 ,       x = 1 ; em torno de x = 1

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Sabemos então que a = - 1 e b = 1 , vamos calcular a área agora, como rotacional em x = 1 temos:

A y = π r 2 = π 1 - y 2 2 = π 1 - 2 y 2 + y 4

Onde usamos os raios como as curvas limites.

Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y = ∫ - 1 1 π 1 - 2 y 2 + y 4 d y = π ∫ - 1 1 1 - 2 y 2 + y 4 d y

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ 1 - 2 y 2 + y 4 d y = y - 2 . y 3 3 + y 5 5 + C = y - 2 y 3 3 + y 5 5 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = π ∫ - 1 1 1 - 2 y 2 + y 4 d y = π y - 2 y 3 3 + y 5 5 - 1 1 = π 1 - 2.1 3 3 + 1 5 5 - - 1 - 2 . - 1 3 3 + - 1 5 5 = π 1 - 2 3 + 1 5 + 1 - 2 3 + 1 5 = 16 π 15

Resposta

V = 16 π 15

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