42. Se dois corredores em ângulo reto um com o outro têm larguras de 3 e 4,5m, qual o comprimento da maior viga que pode ser movida horizontalmente, passando por essa quina? Despreze a dimensão transversal da viga.

Passo 1

Nós precisamos achar uma função para o comprimento da viga e minimizá-la para que a viga passe.

Passo 2

Vamos chamar de s o comprimento da viga que toca a quina das paredes, x metros do corredor de 4,5m e y metros do corredor de 3m. Com a figura fica mais fácil...

Por semelhança de triângulos, y 3 = 4,5 x . Escrevendo s como soma das hipotenusas dos triângulos menores:

s ( x ) = x 2 + 20,25 + 182,25 x - 2 + 9

Passo 3

Queremos que o comprimento s seja mínimo, então vamos derivar e igualar a 0 pra achar um x que satisfaça isso.

s ' x = x x 2 + 20,25 - 182,25 x - 3 182,25 x - 2 + 9

= x x 2 + 20,25 - 182,25 x - 2 9 20,25 + x 2 = x - 2 x 2 + 20,25 ( x 3 - 60,75 )

s ' x = 0

x - 2 x 2 + 20,25 x 3 - 60,75 = 0

x = 60,75 3 = 3,93

Passo 4

Agora, substituindo esse valor de x em s , teremos o comprimento.

s x = 3,93 2 + 20,25 + 182,25 3,93 - 2 + 9 = 5,974 + 3,011 = 8,985   m e t r o s

Resposta

L a r g u r a = 8,985   m e t r o s

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