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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 20

Diferencie a função dada

F(x) = l n (sqrt((2 x + 1)/(x - 3)))

Passo 1

Vamos lembrar algumas propriedades :

Derivadas :

(d)/(d x) (f o g (a x)) = f^' (g (a x)) . g^' (a x) . a ; Sendo “a” uma constante.

(d)/(d x) x^n = n x^(n - 1)

(d)/(d x) a^(f ( x )) = l n a . a^(f ( x )) . (d)/(d x) f ( x )

(d)/(d x) (f (x) . g (x)) = f^' g + g^' f [R e g r a d a C a d e i a]

(d)/(d x) ln (f ( x )) = (1)/(f ( x )) . f^' (x)

Expoente e Logaritmos

a^b = e^(b ln (a))

L n ( A // B ) = L N A – L N B

Passo 2

Usando o que sabemos de logaritmo, podemos facilitar nossa conta fazendo :

(d)/(d x) l n (sqrt((2 x + 1)/(x - 3))) = (d)/(d x) ( ln sqrt(2 x + 1) - ln sqrt(x - 3) )

Temos uma subtração de funções, então podemos derivar uma de cada vez.

(d)/(d x) ( ln sqrt(2 x + 1) - ln sqrt(x - 3) ) = (d)/(d x) ( ln sqrt(2 x + 1) ) - (d)/(d x) ln ( sqrt(x - 3) )

Usando o que sabemos de derivadas de logaritmos podemos escrever que :

= (1)/(sqrt(2 x + 1)) . ( sqrt((2 x + 1))^() ) ' - (1)/(sqrt(x - 3)) . sqrt( (x - 3)) '

= (1)/(sqrt(2 x + 1)) . ((2)/(2 sqrt((2 x + 1)))) - (1)/(sqrt(x - 3)) . ((1)/(2 sqrt( (x - 3))))

= (1)/(2 x + 1) - (1)/(2 (x - 3))

Depois de agrupar as frações temos :

= - (7)/({2 ((x - 3)) ((2 x + 1))})

Resposta

(d)/(d x) l n (sqrt((2 x + 1)/(x - 3))) = - (7)/(2 (x - 3) (2 x + 1))

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