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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 43

43 - Deduza a fórmula do volume de um cone circular reto de altura h e raio r usando um sólido de revolução adequado.

Passo 1

Assim temos para limites de integração r e 0.

Utilizando as seguintes funções do cone:

Raio da concha será: - h r x e a altura: h

Inserindo na integral:

V =   2 π ∫ 0 r x - h r x + h d x

V = 2 π ∫ 0 r - h r ⋅ x 2 + h x   d x

Como h é uma constante, podemos colocar em evidência e colocar para fora da integral, veja:

V = 2 π ∫ 0 r h - x 2 r + x d x = 2 π h ∫ 0 r - x 2 r + x   d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

V = 2 π h - x 3 3 r + x 2 2 0 r

V = 2 π h - r 3 3 r + r 2 2 - - 0 3 3 + 0 2 2

Resolvendo os limites de integração teremos:

2 π h - 1 3 ⋅ r 3 r + 1 2 r 2 - 0 = 2 π h - r 2 3 + r 2 2

Passo 3

Resolvendo os parênteses e multiplicando por 2 π h

mmc: 3,2 = 6

2 π h - 2 r 2 + 3 r 2 6 =   2 π h r 2 6 = 2 π r 2 h 6 = 1 3 π r 2 h

Resposta

1 3 π r 2 h

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