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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 12

Use integração para encontrar o volume de sum segmento de uma esfera, se ela tiver um raio de r unidades e se a altura do segmento for h unidades.

Passo 1

Pessoal, para resolver essa questão nós vamos utilizar o método dos cortes e para utilizá-lo precisamos achar a fórmula da área de uma secção perpendicular genérica.

Abaixo eu tenho a figura da esfera de raio R e uma secção perpendicular (em vermelho).

Perceba que um segmento esférico de altura h seria obtido se a gente cortasse um pedaço da esfera no intervalo [ R - h , R ] , esse intervalo tem justamente o comprimento h . Então, para achar o volume do segmento esférico, podemos achar a área da secção transversal e usar a fórmula dos cortes.

Vamos considerar o eixo azul (OY) e o eixo vermelho (OX), a secção transversal é a área do círculo, sendo o raio dado por R x = R 2 - x 2 , isso vem da fórmula x 2 + y 2 = R 2 . Dessa forma, a área da secção será dada por:

A x = π ( R 2 - x 2 )

Passo 2

Agora, vamos lembrar a fórmula que calcula o volume. Seja S um sólido tal que S esteja entre planos perpendiculares ao eixo x em a e b . Se a medida da área da secção plana de S no plano perpendicular ao eixo x em x for dada por A ( x ) , onde A é contínua em [ a , b ] , então a medida do volume de S será dada por:

V = ∫ a b A ( x ) d x

No nosso exemplo, A x = 1 - x 2 e o intervalo de integração é [ R - h , R ] . Dessa forma,

V = ∫ R - h R π ( R 2 - x 2 ) d x

Passo 3

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

V = π ∫ R - h R ( R 2 - x 2 ) d x = π R 2 x - x 3 3 R - h R = π R 2 R - R 3 3 - π R 2 ( R - h ) - ( R - h ) 3 3

= π R 2 R - R 3 3 - π R 2 R - h - R - h 3 3

= π R 3 - R 3 3 - π R 3 + R 2 h - R - h 3 3

= π - R 3 3 - π R 2 h - R - h 3 3

= - π 3 R 3 - π R 2 h - R 3 - 3 R 2 h + 3 R h 2 - h 3 3

= - π 3 R 3 - π - 3 R 2 h + R 3 - 3 R 2 h + 3 R h 2 - h 3 3

= - π 3 R 3 + π 3 ⋅ R 3 + 3 R h 2 - h 3

= π 3 3 R h 2 - h 3 = π h 2 ( 3 R - h ) 3   u . v

Sendo assim, o volume é   V = π h 2 ( 3 R - h ) 3   u . v .

Resposta

V = π h 2 ( 3 R - h ) 3   u . v

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