Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados

Passo 1

x corresponde ao raio da casca, ou seja,

Passo 2

Como a variável de espessura da casca é x , os limites de integração para a fórmula da casca são 0 ≤ x ≤ 2 . O volume é portanto,

V = ∫ 0 2 2 π x 1 + x 2 4 d x

Retirando a constante e a regra da soma

= 2 π ∫ 0 2 x + x 3 4 d x = 2 π ∫ 0 2 x d x + 1 4 ∫ 0 2 x 3 d x = 2 π x 2 2 + 1 4   x 4 4   = 2 π x 2 2 + x 4 16 ​ 0 2    

Usando o Teorema Fundamental do cálculo parte II

2 π x 2 2 + x 4 16 ​ 0 2   = 2 π 2 2 2 + ( 2 ) 4 16 - 4 2 + 16 16 = 2 π 2 + 1 = 6 π

Portanto,

V = 6 π

Resposta

V = 6 π

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