Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 17
Resolva o Exercício 16, se os dois planos estiverem em lados diferentes opostos em relação ao centro da esfera, mas todos os demais permanecem os mesmos.
Passo 1
A questão é semelhante a anterior, porém com essa diferença dos lados dos planos, será que terá diferença???
Sim e será somente nos limites de integração! Vamos lá!
Vamos sempre pensar numa esfera como a parte interna da circunferência rotacionada em torno de algum dos eixos, isso vai nos ajudar a visualizar melhor! Ver em é muito melhor do que em !
Não sabia da informação que falei? Agora já sabe, não da mole nisso!
Para efeito de facilitar o nosso trabalho iremos admitir o centro da circunferência e consequentemente da esfera no seu centro, então a equação dessa circunferência de raio será isso aqui ó:
Isolaremos o , pois vamos fazer a circunferência rotacionar no eixo .
Passo 2
Lembra quais os limites de integração, aqueles números pequenos em cima da integral. Então para calcularmos o volume da esfera, utilizaríamos o intervalo de a , em que é o raio e faríamos a integral abaixo:
Na nossa questão seria de , mas tem dois planos paralelos de lados opostos em relação que cortam essa esfera. E agora?? Calma! Faremos um esboço do desenho!
Informação importante é que estão em lados opostos do centro!
Obs: Imagem meramente ilustrativa, tipo hambúrguer de lanchonete, não está nas abscissas certinhas!
Passo 3
Falamos la no início que iríamos considera o centro como . Ora! Como o centro e o primeiro plano estão do mesmo lado e possuem uma distância igual a 1. Podemos afirmar que o primeiro plano possui abscissa igual a -1, o sinal vai ser bem importante!
Já o segundo plano tem uma distância de , mas de quem?? Da circunferência ou do outro plano? Aaaa, já matou né! É do outro plano então tem abscissa de 5, pois é a abscissa do primeiro plano mais a distância, mas lembra que a abscissa é negativa do primeiro plano!
Agora vamos partir para a integral! Com o limite de integração de a hein!