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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 43

43. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ x 3 x 2 + 1 3 d x

Passo 1

Como queremos expressar como uma função racional, temos que sumir com essa raiz. Então, vamos a seguinte substituição:

u = x 2 + 1 3

Logo,

u 3 = x 2 + 1

Derivando, temos:

3 u 2 d u = 2 x d x

Isolando o d x , temos:

d x = 3 u 2 2 x d u

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ x 3 x 2 + 1 3 d x

Vamos primeiro trocar o d x

I = ∫ x 3 x 2 + 1 3 3 u 2 2 x d u

Assim,

I = ∫ x 2 x 2 + 1 3 3 u 2 2 d u

Como x 2 = u 3 - 1 e x 2 + 1 3 = u :

I = ∫ u 3 - 1 u 3 u 2 2 d u

Arrumando essa bagunça:

I = ∫ 3 2 u 4 - u d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora vamos integrar! I = 3 2 ∫ u 4 - u d u

Logo,

I = 3 2 ⋅ u 4 + 1 4 + 1 - u 1 + 1 1 + 1 + C

Portanto,

I = 3 2 ⋅ u 5 5 - 3 2 ⋅ u 2 2 + C

Voltando para variável x ( u = x 2 + 1 3   ):

I = 3 2 ⋅ x 2 + 1 3 5 5 - 3 2 ⋅ x 2 + 1 3 2 2 + C

Por fim,

I = 3 10 x 2 + 1 5 / 3 - 3 4 x 2 + 1 2 / 3 + C

Resposta

3 10 x 2 + 1 5 / 3 - 3 4 x 2 + 1 2 / 3 + C

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