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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 52

52. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ cosh ⁡ t s e n h 2 t + s e n h 4 ( t ) d t

Passo 1

Essa questão ta com um errinho no enunciado. Onde ele diz s e n 2 t é s e n h 2 ( t ) . Beleza?!

Nessa questão vamos fazer a seguinte substituição de variável:

u = s e n h t

Derivando,

d u = cosh ⁡ t

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ cosh ⁡ t s e n h 2 t + s e n h 4 ( t ) d t

Isto é,

I = ∫ 1 s e n h 2 t + s e n h 4 ( t ) cosh ⁡ t d t

Do Passo 1, temos:

I = ∫ 1 u 2 + u 4 d u

Colocando u 2 em evidencia:

I = ∫ 1 u 2 ( 1 + u 2 ) d u

Agora vamos separar em frações parciais!

1 u 2 ( 1 + u 2 ) = A u + B u 2 + C u + D 1 + u 2

Colocando tudo no mesmo denominador:

1 u 2 ( 1 + u 2 ) = ( A u + B ) 1 + u 2 + ( C u + D ) ( u 2 ) u 2 ( 1 + u 2 )

Arrumando a casa:

1 u 2 ( 1 + u 2 ) = u 3 A + C + u 2 B + D + u ( A ) + B u 2 ( 1 + u 2 )

Montando o sistema:

A + C = 0 B + D = 0 A = 0 B = 1

A solução fica assim:

A = 0 , B = 1 , C = 0 e D = - 1

Passo 3

Nossa expressão era assim:

A u + B u 2 + C u + D 1 + u 2

Vai ficar assim:

1 u 2 + - 1 1 + u 2

Integrando, temos:

I = ∫ 1 u 2 - 1 1 + u 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1

Não esquece: ∫ d u 1 + u 2 = a r c t g ( u ) + C

Logo,

I = u - 2 + 1 - 2 + 1 - a r c t g u + C

Isto é,

I = - 1 u - a r c t g u + C

Voltando para variável x ( u = s e n h t ) :

I = - 1 s e n h ( t ) - a r c t g s e n h ( t ) + C

Resposta

- 1 s e n h ( t ) - a r c t g s e n h ( t ) + C

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