Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 44
44. Uma firma determina que unidades de seu produto podem ser vendidas diariamente a dólares a unidade, onde:
O custo de produção de unidades diárias é:
a) Encontre a função receita .
b) Encontre a função lucro .
c) Supondo que a capacidade máxima de produção é de unidades por dia, determine quantas unidades a companhia deve produzir e vender por dia para maximizar seu lucro.
d) Encontre o lucro máximo.
e) Qual é o preço unitário a ser cobrado para obter o lucro máximo?
Passo 1
a) Então pessoal, encontrar a função receita não é tããão difícil assim não, tá? A expressão para a receita é a seguinte:
E o próprio enunciado nos cede , se liga:
Substituindo na expressão, temos que a função receita será:
Passo 2
b) O lucro da firma é dado pela seguinte equação:
Ou melhor:
Como temos a receita e o custo, então:
E essa é a nossa expressão do lucro, galera!
Passo 3
c) Para determinarmos o lucro máximo da firma devemos utilizar os conceitos do cálculo que aprendemos, ok? Derivando nossa função lucro e igualando a zero, teremos:
Aqui vale ressaltar que como a produção diária máxima é de unidades, então está entre e , ok? Continuando:
Sendo assim, a companhia deve produzir e vender por dia unidades para maximizar seu lucro!
Passo 4
d) Como já encontramos o valor de que maximiza o lucro da firma, basta substituirmos esse valor encontrado na expressão do lucro, saca só:
Para :
E esse é o lucro máximo!
Passo 5
e) Então galera, de acordo com o enunciado temos que unidades do produto da firma podem ser vendidas diariamente a dólares a unidade, onde:
Assim como calculamos, para a firma obter o lucro máximo unidades devem ser produzidas diariamente, então:
E esse seria o preço unitário a ser cobrado!
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)