45. Carro na ausência de atrito. Um carrinho preso a uma parede por uma mola é afastado 10 cm de sua posição de repouso e liberado no instante t = 0 , oscilando, então, durante 4 segundos. Sua posição no instante t é dada por s = 10 * cos(πt) .

a. Qual é a velocidade máxima do carrinho? Quando o carrinho se desloca com essa velocidade? Onde exatamente isso ocorre? Qual é a magnitude de sua aceleração nesse momento?

b. Onde o carrinho se encontra quando a magnitude da aceleração é a maior possível? Qual é a velocidade do carrinho nesse momento?

Passo 1

a) Como a quetão nos cede a expressão do espaço percorrido pelo carrinho, basta derivarmos essa expressão e encontraremos a velocidade, se liga:

s = 10 . cos ⁡ π t

d s d t = v = - 10 π . s e n   π t  

A velocidade é máxima quando s e n   π t = 1 , não é verdade? Então a velocidade máxima será:

v m á x = - 10 π ≅ 31,42   c m / s

Ele se move com essa velocidade para os tempos:

s e n   π t = 1   ⇒ a r c   s e n   1 = π t

∴ t = 1 2 , 3 2 , 5 2   e 7 2   s e g u n d o s

São esses 4 valores porque a função seno é periódica, galera! Por fim, a aceleração é dada pela derivada da velocidade, então:

d v d t = a = - 10 π ² . cos ⁡ π t

Aqui aparece um dado interessante pessoal. Para os quatro intervalos de tempo que escrevemos, a distância total percorrida é nula, e assim como a função da distância, a função da aceleração também depende do cosseno, não é mesmo? Dessa forma, temos:

a = 0   c m / s ²

Passo 2

b) Se para a função seno, os intervalos de tempo em que a velocidade era máxima era de meio em meio, então para a função cosseno os intervalos de tempo em que a aceleração será máxima será de um em um, ou seja:

t = 1 ; 2 ; 3   e   4   s e g u n d o s

Para esses intervalos de tempo a função seno, que está relacionada à velocidade, apresentará valores de ângulo múltiplos de π , que resultará em v = 0   c m / s .

Resposta

a) v m á x ≅ 31,42   c m / s

t = 1 2 , 3 2 , 5 2   e 7 2   s e g u n d o s

a = 0   c m / s ²

b) t = 1 ; 2 ; 3   e   4   s e g u n d o s

v = 0   c m / s

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