Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 45
45. Carro na ausência de atrito. Um carrinho preso a uma parede por uma mola é afastado de sua posição de repouso e liberado no instante , oscilando, então, durante segundos. Sua posição no instante é dada por .
a. Qual é a velocidade máxima do carrinho? Quando o carrinho se desloca com essa velocidade? Onde exatamente isso ocorre? Qual é a magnitude de sua aceleração nesse momento?
b. Onde o carrinho se encontra quando a magnitude da aceleração é a maior possível? Qual é a velocidade do carrinho nesse momento?
Passo 1
a) Como a quetão nos cede a expressão do espaço percorrido pelo carrinho, basta derivarmos essa expressão e encontraremos a velocidade, se liga:
A velocidade é máxima quando , não é verdade? Então a velocidade máxima será:
Ele se move com essa velocidade para os tempos:
São esses 4 valores porque a função seno é periódica, galera! Por fim, a aceleração é dada pela derivada da velocidade, então:
Aqui aparece um dado interessante pessoal. Para os quatro intervalos de tempo que escrevemos, a distância total percorrida é nula, e assim como a função da distância, a função da aceleração também depende do cosseno, não é mesmo? Dessa forma, temos:
Passo 2
b) Se para a função seno, os intervalos de tempo em que a velocidade era máxima era de meio em meio, então para a função cosseno os intervalos de tempo em que a aceleração será máxima será de um em um, ou seja:
Para esses intervalos de tempo a função seno, que está relacionada à velocidade, apresentará valores de ângulo múltiplos de , que resultará em .
Resposta
a)
b)