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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 88

Um cliente lhe pediu que projetasse um tanque retangular de aço inoxidável, sem tampa. Ele deverá possuir base quadrada e um volume de 32 pés e será soldado a partir de chapas de aço com espessura de 1 / 4 de polegada, sem pesar mais do que o estritamente necessário. Que dimensões você recomendaria?

Passo 1

Seja a altura dada y e o lado do quadrado ser x , temos que o volume interno da caixa é dado por:

V o l i n t e r n o = y x ²

Passo 2

Agora calcularemos o volume total de aço, considerando a espessura do material l :

V o l m a t e r i a l = 4 x l y + x ² l  

Observe que:

  1. 4 x l y é o volume total das laterais
  2. x ² l é o volume da base

Passo 3

Como o enunciado pede que o V o l i n t e r n o   seja igual 32 pés, logo essa grandeza será nossa constante, assim isolaremos a variável y da equação do passo 1 e aplicaremos na equação do passo 2.

V o l m a t e r i a l = 4 x l V o l i n t e r n o x ² + x 2 l

V o l m a t e r i a l = 4 l V o l i n t e r n o x + x ² l

Passo 4

Como é uma questão de otimização, o objetivo que temos é de minimizar a quantidade de material usada. Então, encontraremos os pontos críticos da equação do passo 3.

d V o l m a t e r i a l d x = d 4 l V o l i n t e r n o x + x 2 l d x = - 4 l V o l i n t e r n o x 2   + 2 x l  

d V o l m a t e r i a l d x = 0 ,para encontrarmos os pontos críticos

- 4 l V o l i n t e r n o x 2   + 2 x l = 0

x 3 = 2 V o l i n t e r n o

x = 2 V o l i n t e r n o 3

Passo 5

Para sabermos se x =   2 V o l i n t e r n o 3 corresponde a um ponto de mínimo, analisaremos a segunda derivada da equação V o l m a t e r i a l nesse ponto.

d 2 V o l m a t e r i a l d x 2 =   8 l V o l i n t e r n o x 3   + 2 l

d 2 V o l m a t e r i a l d x 2 x = 2 V o l i n t e r n o 3 =   8 l V o l i n t e r n o 2 V o l i n t e r n o 3 3   + 2 l = 6 l > 0  

Logo, esse ponto crítico é um ponto de mínimo ;).

Passo 6

Assim, podemos concluir que o volume mínimo de material será quando x   =   2 V o l i n t e r n o 3

V o l m a t e r i a l = 4 l V o l i n t e r n o x + x 2 l = V o l m a t e r i a l = 4 l V o l i n t e r n o 2 V o l i n t e r n o 3 + 2 V o l i n t e r n o 3 2 l

Racionalizando o primeiro termo:

V o l m a t e r i a l = 3 l 2 V o l i n t e r n o 3 2

Passo 7

Dimensões:

x   =   2 V o l i n t e r n o 3

y = V o l i n t e r n o x 2 = V o l i n t e r n o 2 V o l i n t e r n o 3 2 = V o l i n t e r n o 3 3 3    

Resposta

x = 4     ft e y = 1.74 ft

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