43) Suponha que a única informação que temos sobre uma função f é que f 1 = 5 e que o gráfico de sua derivada é como mostrado.

(a) Use uma aproximação linear para estimar f 0,9 e f ( 1,1 ) .

(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? Explique.

Passo 1

Oiieeeee, vamos resolver mais uma?

Nesse problema foi dado o gráfico da derivada de uma função:

E foi dito que f 1 = 5 .

A partir daí queremos usar uma aproximação linear para determinar f 0,9 e f 1,1 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Se o problema está falando de aproximação linear, podemos imaginar que vamos ter que aplicar a fórmula da aproximação.

L x = f a + f ' a x - a

Queremos a aproximação de x = 0,9 e x = 1,1 , que são próximos de x = 1 .

Como foi dado o valor de f 1 , podemos aplicar essa fórmula de L x para a = 1 e f ' a pode ser obtida pelo gráfico de f ' .

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Pelo gráfico de f ' , temos:

f ' 1 = 2

Assim, como f 1 = 5 , aplicando essas informações na função linearização:

L x = f a + f ' a x - a = f 1 + f ' 1 x - 1

L x = 5 + 2 x - 1

L x = 2 x + 3

Show? Agora para x = 0,9 , temos:

L 0,9 = 2 0,9 + 3 = 4,8

Agora para x = 1,1 :

L 1,1 = 2 1,1 + 3 = 5,2

Pelo gráfico, vemos a derivada da função é positiva e decrescente, isso implica que a função é crescente e possui a concavidade é votada para baixo. Ou seja, a função tem um crescimento menor e as retas tangentes estão acima da função f , logo, as estimativas são muito grandes em relação a f .

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

(a) f 0,9 ≈ 4,8 e f 1,1 ≈ 5,2

(b) As estimativas são muito grandes em relação a f .

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