Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 94
Use a regra da cadeia e a regra do produto para dar uma demonstração alternativa da regra do quociente.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.
A gente precisa demonstrar a regra do quociente utilizando a regra da cadeia e a regra do produto.
Devemos mostrar que
Para isso vamos primeiro dar uma olhada na regra da cadeia:
Dada uma função composta , então a derivada em relação a :
Agora vamos dar uma olhada também na regra do produto, utilizada quando temos um produto de função:
Dada o produto de função , a regra do produto é:
Para isso, é sugerido que reescrevamos o quociente como um produto:
Daí, derivamos usando as regras do produto e da cadeia!!!
Passo 2
Vamos então primeiro colocar nossa derivada e iremos escrever o quociente como produto:
Utilizando a regra do produto, nós podemos escrever:
Reescrevendo:
Agora iremos utilizar a regra da cadeia para escrever da seguinte forma o termo destacado:
Podemos utilizar a regra da cadeia por temos a função dentro da função inversa (ele está elevado a ), sendo assim, uma composição de função.
Passo 3
Agora iremos utilizar a regra da potência para derivar a parte destacada do passo anterior:
Reescrevendo agora os termos que estão elevados a potencias negativas:
Realizando o
Provando agora:
Conseguimos então provar a regra do quociente de outra forma.
Resposta
Demonstração.