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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 43

43- O tanque de metal cúbico mostrado aqui tem uma portinhola parabólica que é mantida no lugar por meio de parafusos, e que foi projetado para suportar uma força de fluido de 160 lb sem se romper. O líquido que você planeja armazenar tem peso específico de 50 lb/pé3.

  1. Qual é a força que o fluido exerce sobre a portinhola quando o líquido está a 2 pés de profundidade?
  2. Qual é a altura máxima que se pode encher o tanque, sem ultrapassar a limitação de seu projeto?

Passo 1

O comprimento 2 x total dessa parábola é:

x = y

2 x = 2 y

E como a altura da letra a é de 2 pés nossa profundidade será de:

2 - y

Para o intervalo de 0 a 1 que são os limites da nossa portinhola.

Passo 2

Nossa integral fica:

F = w ∫ 0 1 2 - y 2 y d y

Como o peso específico específico é de 50,logo:

F = 50 × 2 ∫ 0 1 2 y - y y d y = 100 ∫ 0 1 2 y 1 2 - y 3 2 d y

Fazendo:

F = 100 2 × 2 3 y 3 2 - 2 5 y 5 2 0 1 = 100 2 × 2 3 - 2 5 = 93.33   l b

Passo 3

Na letra b a integral é idêntica porém invés da profundidade ser 2 - y , será h - y pois dessa vez queremos descobrir h . Além de termos nossa força limite que a portinhola irá aguentar que é de 160 lb.

160 = 100 ∫ 0 1 h - y y d y

1.6 = ∫ 0 1 h y - y y d y = ∫ 0 1 h y 1 2 - y 3 2 d y

1.6 = 2 3 h y 3 2 - 2 5 y 5 2 0 1

1.6 = 2 3 h - 2 5 = 10 h - 6 15

Agora calculando h :

1.6 × 15 = 10 h - 6

h = 24 + 6 10 = 3   p é s

Logo nosso líquido só poderá estar na altura de 3 pés. Senão a portinhola se rompe.

Resposta

  1. 93.33   l b
  2. 3 pés
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