Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 45
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Estamos prestes a desvendar o mistério da convergência dessa série matemática!
Vamos determinar se a série é convergente ou divergente, expressando como uma soma telescópica e, se for convergente, calcular sua soma.
Podemos observar que a série não é uma série geométrica. Então, para simplificar a expressão, utilizaremos a decomposição em frações parciais. Inicialmente teremos que:
Então,
Simplificando coma a decomposição em frações parciais. Temos o seguinte:
Passo 2
aplicar a decomposição em frações parciais, obtemos:
Multiplicando ambos os lados da equação por , obtemos:
Expandindo os termos da direita, temos:
Ao comparar os termos com e os termos constantes, obtemos o seguinte sistema de equações:
- Da primeira equação temos que: . Como esta equação deve ser verdadeira para todos os valores de , isso implica que
- Da segunda equação, , encontramos que .
Substituindo na equação , temos:
Passo 3
Reescrevendo como uma soma telescópica para facilitar os cálculos e a análise. Isso nos permite cancelar muitos termos, restando apenas alguns, caracterizando uma soma telescópica.
Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos no passo anterior, e . Portanto, a expressão correta para .
Passo 4
Agora, para encontrar o limite de à medida que tende ao infinito, substituímos por em nossa expressão telescópica:
Como , então teremos:
Portanto, a série dada é convergente e:
E está aí nossa resolução! 😉
Resposta
A série dada é convergente e: