Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 )

Passo 1

E aí galera, tudo bem?

Estamos prestes a desvendar o mistério da convergência dessa série matemática!

Vamos determinar se a série ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) é convergente ou divergente, expressando s n como uma soma telescópica e, se for convergente, calcular sua soma.

Podemos observar que a série não é uma série geométrica. Então, para simplificar a expressão, utilizaremos a decomposição em frações parciais. Inicialmente teremos que:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 )                     ⇒                   s n = ∑ i = 1 n 3 i ( i + 3 )

Então,

s n = ∑ i = 1 n 3 i ( i + 3 ) = 3 1 . ( 4 ) + 3 2 . ( 5 ) + 3 3 . ( 6 ) + … + 3 n . ( n + 3 )

Simplificando coma a decomposição em frações parciais. Temos o seguinte:

3 i ( i + 3 )

Passo 2

aplicar a decomposição em frações parciais, obtemos:

3 i ( i + 3 ) = A i + B i + 3

Multiplicando ambos os lados da equação por i i + 3 , obtemos:

3 = A . i + 3 + B . i

Expandindo os termos da direita, temos:

3 = A i + 3 A + B i

Ao comparar os termos com i e os termos constantes, obtemos o seguinte sistema de equações:

A i + B i = 0 3 A   =   3

  • Da primeira equação temos que: i ( A + B ) = 0 . Como esta equação deve ser verdadeira para todos os valores de i , isso implica que A + B = 0 .
  • Da segunda equação, 3 A = 3 , encontramos que A = 1 .

Substituindo A = 1 na equação A + B = 0 , temos:

1 + B   = 0

B = - 1

Passo 3

Reescrevendo s n como uma soma telescópica para facilitar os cálculos e a análise. Isso nos permite cancelar muitos termos, restando apenas alguns, caracterizando uma soma telescópica.

s n = ∑ i = 1 n A i + B i + 3

Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos no passo anterior, A = 1 e B = - 1 . Portanto, a expressão correta para s n .

= 3 ∑ i = 1 n 1 i - 1 i + 3

Passo 4

Agora, para encontrar o limite de s n à medida que n tende ao infinito, substituímos n por em nossa expressão telescópica:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n + 1 - 1 n + 2 - 1 n + 3

Como lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 , então teremos:

lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 = 3 * 11 6

Portanto, a série dada é convergente e:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) = 3 * 11 6

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

A série dada é convergente e:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) = 33 6

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