Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 34
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência.
Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza?
O teste nos diz que se o limite de uma série qualquer, chamada de não existir ou for diferente de zero, então a série diverge.
Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede.
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos nos recordar que há uma propriedade que diz que a soma de duas séries pode ser das seguintes formas:
Ou seja, podemos escrever:
Essa série está com um carinha de série geométrica em! Na realidade, não está nem com cara, é certeza que se trata desse tipo de série!
Vamos nos recordar o que são esse tipo de série?
Passo 3
Para a série geométrica, temos que:
No qual é a relação comum e é o primeiro termo da sequência. Se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamos que vamos!
Teremos:Nossa série é:
Para a primeira somatória, temos que , então é convergente.
Para a segunda somatória, temos que , então é convergente.
Passo 4
Descobrindo a soma, temos que aplicar a seguinte fórmula 2 vezes, pois são duas séries geométricas::
Calculando a soma: