Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 62
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
Passo 1
E aí, galera? Tudo bem?
Aqui precisamos encontrar os valores de para quais a série abaixo:
Repara que a gente tem o expoente tanto no denominador quanto no numerado, então podemos aplicar a propriedade:
Colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:
Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
Esse tipo de série converge se .
Séries geométricas tem expressão pronta para cálculo da soma:
No nosso caso temos que e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Passo 2
Como mostramos acima, se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de ! Como queremos os valores de para os quais a série converge e a série converge para:
Então teremos:
Removendo o módulo, vamos lidar também com os valores negativos, já que a função sendo fica entre -1 e 1:
Vamos multiplicar toda a inequação por para removermos nosso denominador:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Passo 3
Por fim, a soma será:
Substituindo e :
Simplificando nossa fração, temos:
Resposta
A série é convergente para valores de onde . A soma da série é: