Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 28
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
28.
Passo 1
Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Nesse teste descobriremos se a série em questão é divergente ou não. Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza? O teste supracitado nos diz:
“Se ou se , então a série é divergente.”
Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede. As séries podem ter algumas caras, dentre elas existem dois tipos que mais aparecem; a primeira é a série convencional mesmo e a segunda é a série geométrica. Para a convencional a soma é calculada da seguinte forma:
Em outras palavras, basta descobrirmos a expressão que define a sequência de somas parciais e calcular seu limite com . Para a série geométrica, temos que:
No qual é a relação comum e é o primeiro termo da sequência. Se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!
Passo 2
Antes de vermos se a série é convergente ou divergente, vamos descobrir uma expressão para , ok? A soma que nos foi dada é:
Essa soma difere um pouco dos outros tipos porque ela é composta de duas somatórias, galera. Podemos reescrever essa soma como:
Para a primeira podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é sempre , e o denominador é composto apenas por expoentes ímpares na base . Sendo assim, o fator do denominador pode ser escrito como .
Para a segunda podemos tirar que: assim como na primeira soma, o numerador não se altera, ou seja, é sempre , e o denominador é composto apenas por expoentes pares na base 3. Sendo assim, o fator do denominador pode ser escrito como .
Dessa forma, nossa expressão será:
Simplificando:
Passo 3
Assim como relembrado no passo 1, galera, as duas somatórias são séries geométricas. Sendo assim, devemos calcular para cada uma para ver se são convergentes. Para a primeira somatória, temos que:
Igualando os termos, teremos:
Substituindo , teremos:
Disso podemos tirar que , então a série é convergente. Para a segunda somatória, temos que:
Igualando os termos, teremos:
Substituindo , teremos:
Disso podemos tirar que , então a série também é convergente.
Passo 4
Por fim, calculando a soma das séries utilizando o raciocínio do passo 1, ou seja:
Teremos que:
E para a segunda:
Somando os dois resultados, teremos:
E esse é o nosso resultado! 😉