Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 49

A face de um dique tem a forma de um arco de curva , e a superfície da água chega até a borda do dique. Ache a força decorrente da pressão da água na face do dique se a distância for medida em metros.

Passo 1

Bom, a questão nos pede a força da pressão, então vamos usar a seguinte equação:

Onde x é a profundidade em que a face está submersa e f(x) é o comprimento da face. Substituindo pela equação da curva, e substituindo os limites de integração:

E tomando e :

Passo 2

Vamos resolver a integral por integração por partes:

Vamos primeiro fazer a integral indefinida sem o termo de fora, e depois aplicamos tudo no final. Vamos chamar e , o resultado será:

E agora resolvendo a ultima integral:

Substituindo

Integrando:

Retornando para x:

Substituindo na integral anterior:

Colocando alguns termos em evidência:

Multiplicando pela constante que tínhamos separado e aplicando os limites:

Resolvendo os senos e os cossenos:

Resposta

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