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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 51

51. Se os eixos forem transladados para uma nova origem tendo coordenadas ( h , k ) , mostre que após a translação a equação y = s e n   x torna – se y ' = A   s e n   x ' + B cos ⁡ x ' + C , onde A, B e C são constantes. Ache A, B e C em termos de h e k. Mostre que A 2 + B 2 = 1 .

Passo 1

Vamos entender que se ( x , y ) representa as coordenadas de qualquer ponto P em relação a um dado conjuntos de eixos que tínhamos, então uma translação para uma nova origem com coordenadas ( h ,   k ) em relação aos eixos antigos, então ( x ' , y ' ) representam as coordenadas do mesmo ponto em relação a nova origem. E são dados por:

x = x ' + h           e           y = y ' + k

Passo 2

Vamos pensar um pouco, se uma equação de uma curva é dada em x e y então a equação em x’ e y’ será obtida substituindo as igualdades que vimos no passo 1 na nossa equação. Assim:

y = s e n   x

⇒ y ' + k = s e n   ( x ' + h )

⇒ y ' + k = s e n   x ' ⋅ cos ⁡ h + s e n   h ⋅ cos ⁡ x '

⇒ y ' =   s e n   x ' ⋅ cos ⁡ h + s e n   h ⋅ cos ⁡ x ' - k

Chamando:

A = cos ⁡ h

B = s e n   h

C = - k

Nossa equação toma a forma:

y ' =   A   s e n   x ' + B cos ⁡ x ' + C

Passo 3

Como:

A = cos ⁡ h

B = s e n   h

Logo:

A 2 + B 2 = cos 2 ⁡ h + s e n 2   h = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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53. Usando os resultados dos Exercícios 51 e 52 como referência, determine uma translação de eixos tal que a equação y = 1 2 s e nx - cos ⁡ x - 3 torne – se y ' = s e nx ' .
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