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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 44

44. Calcule a integral

int sin x sec^5 x d x

Passo 1

Show de bicicletinhas galera, primeiro de tudo, podemos pegar aquele sec^5 x e chamarmos de:

sec^5 x = (1)/(cos^5 x)

Logo:

int sin x sec^5 x d x = int sin x (1)/(cos^5 x) d x = int (sin x)/(cos^5 x) d x

Podemos também, chamar (sin x)/(cos x) = tan x , então:

int (sin x)/(cos^5 x) d x = int (tan x)/(cos^4 x) d x = int tan x sec^4 x d x

Show de bolinhas, ta começando a ficar bonito

Passo 2

Show de bolinhas, ta começando a ficar bonito, agora pra resolver essa integral, podemos usar da técnica de substituição simples, chamanda sec x = u , temos:

sec x = u

d u = sec x tan x d x => d x = (d u)/(sec x tan x)

E levando para integral chegamos em:

int tan x sec^4 x d x = int tan x u^4 (d u)/(sec x tan x) = int u^3 d u

int u^3 d u = (1)/(4) u^4 + C

Portanto, voltando para variável inicial, chegamos em

int sin x sec^5 x d x = (1)/(4) sec^4 x + C

Resposta

int sin x sec^5 x d x = (1)/(4) sec^4 x + C

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