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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 19

Calcule a integral.

int s e n^4 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos usar uma substituição simples para deixar o argumento da função com uma variável sozinha:

u = 2 x , (d u)/(d x) = 2 :. (d u)/(2) = d x

A integral fica:

int (s e n^4 u)/(2) d u

Passo 2

Como temos o seno sozinho, elevado a um expoente muito alto, podemos usar a fórmula de redução:

int s e n^n x d x = - (1)/(n) s e n^(n - 1) x cos x + (n - 1)/(n) int s e n^(n - 2) x d x

Fica assim:

int (s e n^4 u)/(2) d u = (1)/(2) (- (1)/(4) s e n^3 u cos u + (3)/(4) int s e n^2 u d u) = - (1)/(8) s e n^3 u cos u + (3)/(8) int s e n^2 u d u

Passo 3

Podemos usar a fórmula da redução outra vez nessa integral que apareceu, fica assim:

int s e n^2 u d u = - (1)/(2) s e n u cos u + (1)/(2) int 1 d u = - (1)/(2) s e n u cos u + (u)/(2)

Substituindo esse resultado nas continhas de cima:

int (s e n^4 u)/(2) d u = - (1)/(8) s e n^3 u cos u + (3)/(8) (- (1)/(2) s e n u cos u + (u)/(2)) =

= - (1)/(8) s e n^3 u cos u - (3)/(16) s e n u cos u + (3)/(16) u

Passo 4

Mas a gente tem que lembrar que u = 2 x . E que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida:

int s e n^4 2 x = int (s e n^4 u)/(2) d u = - (1)/(8) s e n^3 2 x cos 2 x - (3)/(16) s e n 2 x cos 2 x + (3)/(8) x + C

Resposta

- (1)/(8) s e n^3 2 x cos 2 x - (3)/(16) s e n 2 x cos 2 x + (3)/(8) x + C

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