Calcule a integral.

∫ s e n 4 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos usar uma substituição simples para deixar o argumento da função com uma variável sozinha:

u = 2 x , d u d x = 2 ∴ d u 2 = d x

A integral fica:

∫ s e n 4 u 2 d u

Passo 2

Como temos o seno sozinho, elevado a um expoente muito alto, podemos usar a fórmula de redução:

∫ s e n n x d x = - 1 n   s e n n - 1 x cos ⁡ x + n - 1 n ∫ s e n n - 2 x d x

Fica assim:

∫ s e n 4 u 2 d u = 1 2 - 1 4   s e n 3 u cos ⁡ u + 3 4   ∫ s e n 2 u d u = - 1 8 s e n 3 u cos ⁡ u + 3 8 ∫ s e n 2 u d u  

Passo 3

Podemos usar a fórmula da redução outra vez nessa integral que apareceu, fica assim:

∫ s e n 2 u d u = - 1 2 s e n   u cos ⁡ u + 1 2 ∫ 1 d u = - 1 2   s e n   u cos ⁡ u + u 2

Substituindo esse resultado nas continhas de cima:

∫ s e n 4 u 2 d u = - 1 8 s e n 3 u cos ⁡ u + 3 8 - 1 2   s e n   u cos ⁡ u + u 2 =

= - 1 8 s e n 3 u cos ⁡ u - 3 16 s e n   u cos ⁡ u + 3 16 u  

Passo 4

Mas a gente tem que lembrar que u = 2 x . E que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida:

∫ s e n 4 2 x = ∫ s e n 4 u 2 d u = - 1 8 s e n 3 2 x cos ⁡ 2 x - 3 16 s e n   2 x cos ⁡ 2 x + 3 8 x + C

Resposta

- 1 8 s e n 3 2 x cos ⁡ 2 x - 3 16 s e n   2 x cos ⁡ 2 x + 3 8 x + C

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