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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 18

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x cos 4 x d x

Passo 1

Como temos um produto entre um seno e um cosseno, e eles tem argumentos diferentes, precisamos reescrever a integral, usando essa relação:

s e n alpha cos beta = (1)/(2) [s e n (alpha - beta) + s e n (alpha + beta)]

Nossa integral fica assim:

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x cos 4 x d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) s e n (2 x - 4 x) + s e n (2 x + 4 x) d x

= (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) s e n (- 2 x) + s e n ( 6 x ) d x

Como:

s e n (- x) = - s e n (x)

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x cos 4 x d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) - s e n (2 x) + s e n (6 x) d x =

= (1)/(2) (int_0^((pi)/(6)) - s e n ( 2 x ) d x + int_0^((pi)/(6)) s e n ( 6 x ) d x)

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples na primeira integral:

u = 2 x , (d u)/(d x) = 2 :. (d u)/(2) = d x

Substituindo na nossa integral:

int - s e n ( 2 x ) d x = (1)/(2) int - s e n u d u = (cos u)/(2) = (cos 2 x)/(2)

Podemos também fazer uma substituição parecida na segunda integral:

u = 6 x , (d u)/(d x) = 6 :. (d u)/(6) = d x

int s e n ( 6 x ) d x = (1)/(6) int s e n u d u = - (cos u)/(6) = - (cos 6 x)/(6)

Passo 3

Substituindo esses resultados nas nossas continhas:

int_0^((pi)/(6)) s e n 2 x cos 4 x d x = (1)/(2) ((cos 2 x)/(2) - (cos 6 x)/(6)) (​|_0^((pi)/(6)) = (1)/(8) + (1)/(12) - (1)/(4) + (1)/(12) = (1)/(24)

Resposta

(1)/(24)

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