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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 20

Calcule a integral.

int x cos^5 ( x^2 ) d x

Passo 1

Primeiro vamos usar uma substituição simples para deixar esse cosseno sozinho:

u = x^2 , (d u)/(d x) = 2 x :. (d u)/(2) = x d x

A integral fica:

int (cos^5 u)/(2) d u

Passo 2

Agora, lembrando que:

cos^2 u = 1 - s e n^2 u

Podemos reescrever nossa integral assim:

(1)/(2) int cos^5 u d u = (1)/(2) int cos^4 u cos u d u = (1)/(2) int (1 - s e n^2 u)^2 cos u d u

= (1)/(2) int (1 - 2 s e n^2 u + s e n^4 u) cos u d u

= (1)/(2) int cos u d u - int s e n^2 u cos u d u + (1)/(2) int s e n^4 u cos u d u =

= (s e n u)/(2) + int (- s e n^2 u + (s e n^4 u)/(2)) cos u d u

Passo 3

Podemos usar uma substituição simples para resolver essa integral que apareceu:

t = s e n u , (d t)/(d u) = cos u :. d t = cos u d u

A integral fica:

int (- s e n^2 u + (s e n^4 u)/(2)) cos u d u = int - t^2 + (t^4)/(2) d t = - (t^3)/(3) + (t^5)/(10)

= - (s e n^3 u)/(3) + (s e n^5 u)/(10)

Substituindo isso na conta do passo anterior:

int (cos^5 u)/(2) d u = (s e n u)/(2) - (s e n^3 u)/(3) + (s e n^5 u)/(10)

Passo 4

Mas a gente tem que lembrar que u = x^2 . E que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida:

int x cos^5 (x^2) d x = int (cos^5 u)/(2) d u = (s e n (x^2))/(2) - (s e n^3 (x^2))/(3) + (s e n^5 (x^2))/(10) + C

Resposta

(s e n (x^2))/(2) - (s e n^3 (x^2))/(3) + (s e n^5 (x^2))/(10) + C

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