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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 29

29. Calcule a integral

int tan^3 (x) sec^6 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int tan^3 (x) sec^6 ( x ) d x = int tan^2 (x) sec^6 ( x ) t a n ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Então, substituindo

int tan^2 (x) sec^6 (x) t a n ( x ) d x = int (sec^2 (x) - 1) sec^6 (x) t a n ( x ) d x

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = s e c ( x ) , então d u = sec (x) tan (x) d x , então, substituindo

= int (sec^2 (x) - 1) sec^6 (x) t a n ( x ) d x = int (u^2 - 1) u^5 d u

int u^7 - u^5 d u = (u^8)/(8) - (u^6)/(6) + C

(sec^8 x)/(8) - (sec^6 x)/(6) + C

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int tan^3 (x) sec^6 ( x ) d x = (sec^8 x)/(8) - (sec^6 x)/(6) + C

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