Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 45
45. Em cada parte, use os Teoremas 5.5.2 e 5.5.8 para decidir se a função é integrável nos intervalos
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vamos utilizar os teoremas 5.5.2 e 5.5.8, então vou escreve-los aqui embaixo:
O teorema 5.5.2 diz que:
Se um função for contínua em um intervalo , então será integrável em e a área líquida com sinal entre o gráfico de e o intervalo será:
A parte mais importante que usaremos desse teorema é que se a função for contínua num intervalo , então ela será integrável em .
Já o Teorema 5.5.8 diz que:
Seja uma função definida em um intervalo finito fechado
- Se tiver um número finito de descontinuidades em , mas for limitada em , então será integrável.
- Se não for limitada em , então não será integrável em .
Passo 2
Vamos começar pela letra a)
Essa função é contínua em portanto pelo teorema 5.5.2, podemos afirmar que essa função também é integrável!
Letra a)Integrável
Vamos para a letra b), a letra b é descontínua no ponto , pois e , portanto a função possui um ponto de descontinuidade, logo um número finito de descontinuidades, porém essa função é limitada em
é limitada, pois possui como maior valor e menor valor !
Tendo um número finito de descontinuidades, apenas ponto de descontinuidade, e sendo limitada, podemos afirmar que a função da letra b) é integrável.
Letra b)Integrável
Passo 3
A função da letra c) é descontínua no ponto , pois o e , portanto possui apenas um ponto de descontinuidade!
Agora essa função não é limitada no intervalo, pois o valor pode ser tão grande quanto der, por exemplo é igual e dá como resultado , ou seja, essa função não é limitada nesse intervalo!
Toda função que não é limitada é não integrável, utilizando o teorema 5.5.8 (b)!
Letra c) Não integrável
Para finalizar, ufaaa
Vamos para a letra d)
Temos que a função não é continua no ponto , pois não existe, então temos ponto de descontinuidade!
Agora como toda função seno, essa função é limitada e só possui valores entre e .
Essa função tendo números finitos de descontinuidades, apenas ponto, e sendo limitada, podemos afirmar, de acordo com o Teorema 5.5.8 (a), que essa função é integrável!
Resposta
- Integrável
- Integrável
- Não Integrável
- Integrável