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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 39

39-40 Calcule o limite expressando-o como integral definida no intervalo a , b e aplicando uma fórmula apropriada de geometria.

39 lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 3 x k * + 1 ) ∆ x k ; a = 0 , b = 1

Passo 1

Nós vamos usar a definição 5.5.1 para fazermos essa questão.

A definição é a seguinte:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = ∫ a b f x d x

Passo 2

Comparando a nossa definição com a da questão, temos que

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 3 x k * + 1 ) ∆ x k = ∫ 0 1 ( 3 x + 1 ) d x

Então temos que calcular essa integra aqui:

∫ 0 1 ( 3 x + 1 ) d x

Passo 3

Paramos nessa expressão da integral

∫ 0 1 ( 3 x + 1 ) d x

Precisamos desenhar o gráfico de y = 3 x + 1

O gráfico dessa função é um trapézio, e a área do trapézio é dada por:

A = ( B a s e   m a i o r + B a s e   m e n o r ) × a l t u r a 2

A B a s e   m a i o r vai de 0 até 4 , então mede 4 .

A B a s e   m e n o r vai de 0 até 1 , então mede 1 .

A a l t u r a vai de 0 até 1 , então mede 1

A = ( 4 + 1 ) × 1 2 = 5 2

A integral é numericamente igual a área, então:

∫ 0 1 3 x + 1 d x = 5 2

Resposta

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 3 x k * + 1 ) ∆ x k = ∫ 0 1 ( 3 x + 1 ) d x = 5 2

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