45-48. Esboce a regra descrita e encontre sua área.

47. A região abaixo da curva y = 3 * sen(x) e acima do intervlao [0, 2pi / 3] .

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que temos que fazer é esboçar a curva em questão, ok? Esboçando a curva que nos foi dada, teremos:

O que queremos calcular aqui é essa região abaixo da curva em vermelho, limitada pelo intervalo 0 , 2 π 3 , que são as retas pontilhadas! Tendo isso em vista, então bora pra cima!

Passo 2

Escrevendo a integral dessa área:

∫ 0 2 π 3 3 s e n   x d x

Então galera, de acordo com o que estudamos em derivadas, qual é a função que quando derivada resulta em s e n   x ? O resultado é:

∫ 0 2 π 3 3 s e n   x d x = - 3 cos ⁡ x 2 π 3 0

Agora que resolvemos nossa integral, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

∫ 0 2 π 3 3 s e n   x d x = - 3 cos ⁡ 2 π 3 - - 3 cos ⁡ 0

∫ 0 2 π 3 3 s e n   x d x = 3 2 + 3 = 9 2

∴ A = 9 2   u . a

E esse é o valor da nossa região! 😉

Resposta

A = 9 2   u . a

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