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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 12

11-12 Encontre todos os valores de x * no intervalo dado que satisfazem a Equação ( 8 ) do Teorema do valor médio para Integrais ( 5.6 . 2 ) e explique o que esses números representam.

12. (a) f x = sin ⁡ x ; [ - π , π ]

(b) f x = 1 x 2 ; [ 1 , 3 ]

Passo 1

Vou começar mostrando essa famigerada equação 8, que ele diz. É na verdade o Teorema do Valor Médio.

∫ a b f x d x = f (   x   * ) ( b - a )

Basicamente, o que esse teorema diz é que existe uma função constante que tem área igual o valor da integral, é o mesmo conceito que você verá em Força Média!!

Passo 2

Utilizando a Equação 8, temos:

∫ - π π sin ⁡ x d x = f (   x   * ) ( π - - π )

Vamos calcular a integral abaixo:

∫ - π π sin ⁡ x d x

Antes vamos fazer a integral indefinida:

∫ sin ⁡ x d x = cos ⁡ x + C

Usaremos a antiderivada cos ⁡ x , voltando para a integral definida, temos:

∫ - π π sin ⁡ x d x = cos ⁡ x π - π = cos ⁡ π - cos ⁡ - π = 1 - 1 = 0

Então:

∫ - π π sin ⁡ x d x = 0

Agora, utilizando o Teorema do valor médio:

∫ - π π sin ⁡ x d x = f (   x   * ) ( π - - π )

0 = 2 π f (   x   * )

f   x   * = 0

Agora temos que calcular o valor   x   * .

Se f   x   * = 0

Então:

sin ⁡   x   * = 0

Elevando ao quadrado:

  x   * = 0

Passo 3

Utilizando a Equação 8, temos:

∫ 1 3 1 x 2 d x = f (   x   * ) ( 3 - 1 )

Vamos calcular a integral abaixo:

∫ 1 3 1 x 2 d x

Antes vamos fazer a integral indefinida:

∫ 1 x 2 d x = ∫ x - 2 d x = 1 - 2 + 1 x - 2 + 1 = - 1 x + c

Usaremos a antiderivada - x - 1 , voltando para a integral definida, temos:

∫ 1 3 1 x 2 d x = - 1 x 3 1 = - 1 3 - - 1 1 = - 1 3 + 1 = 2 3

Agora, utilizando o Teorema do valor médio:

∫ 1 3 1 x 2 d x = f (   x   * ) ( 3 - 1 )

2 3 = 2 f (   x   * )

f   x   * = 2 3 2 = 1 3

Agora temos que calcular o valor   x   * .

Se f   x   * = 1 3

Então:

1   x   * 2 = 1 3

  x   * 2 = 3

  x   * = 3       o u     x   * = - 3

Tem de estar no intervalo de [ 1,3 ] , então:

  x   * = 3  

Resposta

a)   x   * = 0

b)     x   * = 3  

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